2026-04-29 数学知识

一、回顾知识

1. 计算：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^2(x)}{x}$；

答案：$\boxed{{\displaystyle 0}}$.

2. 计算：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$.

答案：$\boxed{{\displaystyle 1}}$.

二、函数

（一）自变量、因变量、定义域，值域

对于数集：$D\subset R$，$f:D\to R$ 的映射，$y=f(x)$，$x\in D$，则称 $x$ 为 自变量，$y$ 为 因变量.

其中，$D$ 为 定义域，记作 $D_f$.

$R_f$ 为 值域，即：$\{y|y=f(x),x\in D\}$.

提示

1. 要表达 $g(x)$ 的定义域，可使用 $D_g$；要表达 $h(x)$ 的定义域，可使用 $D_h$；
2. 要表达 $g(x)$ 的值域，可使用 $R_g$；要表达 $h(x)$ 的值域，可使用 $R_h$.

函数两要素为：$D_f$（定义域），$f$（对应法则）.

例题

分析此函数的定义域 $D_f$ 和值域 $R_f$：

步骤及答案

【解】根据函数图像：

函数图像

可知，此函数的值域始终 $\ge 0$，但定义域可以取到全体实数.

即：此函数的定义域 $D_f$ 为 $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}}$；值域 $R_f$ 为 $\boxed{{\displaystyle (0,\mathrm{\infty })}}$.

不使用 $\mathrm{R}$ 用来代表 全体实数

为区分值域 $R_f$ 和全体实数 $\mathrm{R}$，在提及全体实数时，使用 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

（二）函数的性质（有界性）

1. 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $X\subset D$. 如果存在数 $K_1$，使得 $f(x)\le K_1$ 对任一 $x\in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界，而 $K_1$ 称为函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个 上界. 上界不唯一.

2. 如果存在数 $K_2$，使得 $f(x)\ge K_2$ 对任一 $x\in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有下界，而 $K_2$ 称为函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个 下界. 下界不唯一.

3. 如果存在正数 $M$，使得 $|f(x)|\le M$ 对任一 $x\in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界. 如果这样的 $M$ 不存在，就称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上 无界.

容易证明，函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界的充要条件为该函数在 $X$ 上，既有上界又有下界.

例题

$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上有无上界、下界值？

步骤及答案

【解】根据函数图像：

根据函数图像：

函数图像

可知，此函数在 $(0,1)$ 上存在最小值：1，无最大值.

因此，$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上 $\boxed{{\displaystyle \mathrm{无}\mathrm{上}\mathrm{界}\mathrm{值}}}$，$\boxed{{\displaystyle \mathrm{有}\mathrm{下}\mathrm{界}\mathrm{值}}}$.

（三）函数的性质（单调性）

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subset D$.

如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$，当 时，恒有 ，那么称函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是 单调增加 的.

如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$，当 时，恒有 ，那么称函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是 单调减少 的.

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

例题

分析函数 $f(x)=x^3$ 的单调性.

步骤及答案

【解】根据函数图像：

根据函数图像：

函数图像

可知，此函数在定义域内始终单调递增.

因此，该函数为单调增函数.

三、夜间练习题

1. 求下列函数的自然定义域（教材第1题）：

(1) $f(x)=\sqrt{3x+2}$；

(2) $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$；

(3) $f(x)=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2}$.

2. 讨论下列函数的有界性（教材第4题）：

(1) $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$；

(2) $f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}$.

3. 求下列函数在指定区间内的单调性（教材第5题）：

(1) $f(x)=\frac{x}{1-x},(-\mathrm{\infty },1)$；

(2) $f(x)=x+\ln x,(0,+\mathrm{\infty })$.