2026-04-27 数学知识

mcenahle2026/4/27大约 2 分钟

极限最核心的三种题型：

1、直接代入型（最简单）

例1：计算： $lim_{x \to 2} (x^{2} + 1)$ .

步骤及答案

【解】 $2^{2} + 1 = 5$

【答案】5

例2：计算： $lim_{x \to 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ .

分子和分母同时为0，为未定数

问题：代入 → 0/0（ $\frac{1^{2} - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$ 不成立）

步骤：

步骤及答案

【解】

\begin{aligned} lim_{x \to 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) & = lim_{x \to 1} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} (x + 1) \\ = 2 \end{aligned}

【答案】2

例3：计算： $lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x})$ .

步骤及答案

【解】

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} & = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} \\ = \frac{(\sqrt{x + 1} - 1) \cdot (\sqrt{x + 1} + 1)}{x \cdot (\sqrt{x + 1} + 1)} \\ = \frac{x + 1 - 1}{x (\sqrt{x + 1} + 1)} \\ = \frac{x}{x (\sqrt{x + 1} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} \end{aligned}

\begin{aligned} lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1}) & = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

【答案】 $\frac{1}{2}$

计算： $lim_{x \to 3} (2 x + 1)$ ；
计算： $lim_{x \to 2} (\frac{x^{2} - 4}{x - 2})$ ；
计算： $lim_{x \to 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ ；
计算： $lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x})$ ；
计算： $lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x})$ ；
计算： $lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{4 + x} - 2}{x})$ ；
计算： $lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x})$ ；
计算： $lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x}})$ ；
计算： $lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{x})$ .

根据“公式库”内的公式，分别完成以下高中给定的初等导数的公式的验证：

公式库

a. 导数的定义： $f^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h})$ ；

b. 三次方程公式： $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .