2026-04-28 数学知识

mcenahle2026/4/28大约 2 分钟

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答案： $\frac{1}{4}$ .

答案： $- \frac{1}{2}$ .

数学定义

当 $x \to 0$ 时，有： $f (x) \sim g (x)$ ，即：

\frac{f (x)}{g (x)} \to 1.

其中， $\sim$ 为近似等价符号。

因此，当我们说 $\sin x \sim x$ 时，即等于 $\frac{\sin x}{x} \to 1$ .

例题

证明：当 $x \to 0$ 时，有：

\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2} .

步骤及答案

【证明】考虑 $\frac{f (x)}{x}$ ，即： $\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$ .

即：

\begin{aligned} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} & = \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} \\ = \frac{1 + x - 1}{x (\sqrt{1 + x} + 1)} \\ = \frac{x}{x (\sqrt{1 + x} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \end{aligned}

因此，

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} .

令 $x \to 0$ ，即：

\sqrt{1 + x} \to 1.

所以，

\sqrt{1 + x} + 1 \to 2.

故：

\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \to \frac{1}{2} .

由上（ $\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}$ ）可得：

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \to \frac{1}{2} .

同时除以 $\frac{1}{2}$ ，即：

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\frac{x}{2}} \to 1.

根据近似等价定义，所以：

\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2} (x \to 0) .

lim_{x \to 0} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to 0} f (x) + lim_{x \to 0} g (x) ①

lim_{x \to 0} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to 0} f (x) - lim_{x \to 0} g (x) ②

lim_{x \to 0} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to 0} f (x) \cdot lim_{x \to 0} g (x) ③

lim_{x \to 0} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{lim_{x \to 0} f (x)}{lim_{x \to 0} g (x)} (lim_{x \to 0} g (x) \neq 0) ④

\sin (x) \sim x 、 \tan (x) \sim x (x \to 0)

所以：

l i m_{x \to 0} \frac{\sin (a x)}{x} = a ① l i m_{x \to 0} \frac{\tan (a x)}{x} = a ②